PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 03
du 01/10/18 au 06/10/18
Parties compactes d'un espace normé.
- Définition d'une partie compacte par la propriété de Bolzano-Weierstrass. La propriété de Borel-Lebesgue est hors-programme.
- Une partie compacte est fermée et bornée.
- Une partie fermée d'une partie compacte est compacte.
- Une suite d'éléments d'une partie compacte converge si et seulement si elle possède une unique valeur d'adhérence.
- Produit d'une famille finie de compacts.
Applications continues sur une partie compacte.
- Image d'une partie compacte par une application continue. Cas particulier des applications à valeurs réelles : théorème des bornes atteintes.
- Théorème de Heine.
Parties connexes par arcs d'un espace vectoriel normé.
- Chemin continu joignant deux points. Relation d'équivalence associée sur une partie A de E. Les classes d'équivalences sont les composantes connexes par arcs.
- Parties connexes par arcs. Dans les cas simples, une figure convaincante vaut preuve de connexité par arcs. Cas des parties convexes cas des parties étoilées.
- Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles.
- Image continue d'une partie connexe par arcs. Cas particulier des applications à valeurs réelles : théorème des valeurs intermédiaires.
Espaces vectoriel normés de dimension finie.
- Equivalence des normes sur un espace de dimension finie. Démonstration non exigible.
- Invariance des différentes notions topologiques par rapport au choix d'une norme en dimension finie. Les étudiants doivent savoir que la convergence d'une suite (ou l'existence de la limite d'une fonction) à valeurs dans un espace de dimension finie équivaut à celle de chacune de ses coordonnées dans une base.
- Une partie d'un espace normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est bornée et fermée.
- Une suite bornée d'un espace de dimension finie converge si et seulement si elle possède une unique valeur d'adhérence.
- Un sous-espace de dimension finie d'un espace normé est fermé.
- Si E est de dimension finie, toute application linéaire de E dans F est continue.
- Continuité des applications polynomiales, des applications multiplinéaires définies sur un produit d'espaces vectoriels de dimensions finies. Exemple : déterminant.