PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 14
du 21/01/19 au 26/01/19

• Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables.
  • Un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie est dit diagonalisable s'il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale.
  • Pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit que la somme de ses sous-espaces propres soit égale à E.
  • Une matrice carrée est dite diagonalisable si l'endomorphisme de K^n canoniquement associé est diagonalisable.
  • Pour qu'une matrice carrée soit diagonalisable, il faut et il suffit qu'elle soit semblable à une matrice diagonale.
  • Cas d'un endomorphisme d'un espace de dimension n admettant n valeurs propres distinctes.
  • Pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit que son polynôme caractéristique soit scindé et que, pour chacune de ses valeurs propres, la dimension du sous-espace propre associé soit égale à la multiplicité de cette valeur propre.
• Endomorphismes et matrices carrées trigonalisables.
  • Un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie est dit trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure.
  • Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure. Pour qu'une matrice carrée soit trigonalisable, il faut et il suffit que l'endomorphisme canoniquement associé le soit.

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées.
  • Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes.
  • Polynômes d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
  • Lemme de décomposition des noyaux.
  • Polynômes annulateurs et diagonalisabilité.
  • Endomorphismes à polynôme minimal scindé.