PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 21
du 25/03/19 au 30/03/19

• Adaptation de la méthode de la variation des constantes aux équations scalaires du second ordre.
• Wronskien de deux solutions d'une équation scalaire homogène d'ordre 2. Définition et calcul. Cas d'une équation x''+q(t)x(t)=0.

• Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles.
  • Dérivée de l'application f au point a selon le vecteur v.
  • Dérivées partielles dans une base.
• Différentielle
  • Application différentiable au point a
  • Si f est différentiable, alors f est continue en a et dérivable en a selon tout vecteur.
  • Différentielle de f en a, encore appelée application linéaire tangente à f en a. Relation df(a).v=D_vf(a).
  • Application différentiable sur un ouvert U, différentielle sur U.
  • Cas particuliers : application constante, restriction à un ouvert d'une application linéaire.
  • Lien entre différentielle et dérivées partielles.
  • Matrice de df(a) dans un couple de bases. Matrice jacobiene d'une application définie sur un ouvert de R^n à valeurs dans R^m. Cas des fonctions d'une variable : si I est un itervalle ouvert de R, la dérivabilité de f en a équivaut à sa différentiablilité en a et f'(a)=df(a).1
• Opérations sur les applications différentiables
  • Différentielle d'une combinaison linéaire d'applications différentiables, de B(f,g) où B est bilinéaire et f et g deux applications différentiables.
  • Différentielle d'une composée d'applications différentiables.
  • Dérivée le long d'un arc : si g est une application définie sur l'intervalle I de R, dérivable en t, si f est différentiable en g(t) alors (fog)'(t)=df(g(t)).g'(t)
  • Dérivées partielles d'une composée d'applications différentiables. Règle de la chaîne.
• Cas des applications numériques.
  • Si l'espace E est euclidien, gradient en a d'une application numérique différentiable en a (notation Nabla). Expression du gradient en base orthonormée.
  • Point critique d'une application différentiable.
  • Condition nécessaire d'existence d'un extremum local.
  • Exemples de recherche d'extremums globaux.

• Calcul différentiel
  • Vecteurs tangents à une partie d'un espace normé de dimension finie
  • Applications de classe C1
  • Applications de classe Ck