PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 01
du 17/09/18 au 22/09/18

• Théorèmes des valeurs intermédiaires et de la bijection
• Théorème de Rolle
• Théorème fondamental de l'analyse
• Théorème de la limite de la dérivée

• Parties convexes d'un espace vectoriel réel.
• Barycentre.
• Partie convexe. Caractérisation à l'aide de barycentres à coefficients positifs.
• Fonctions convexes d'une variables.
• Définition d'une fonction convexe. Extension: inégalité de Jensen.
• Caractérisations : convexité de l'épigraphe, inégalité des pentes.
• Position relative du graphe et de ses cordes.
• Fonction concave.
• Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables.
• Caractérisations des fonctions convexes dérivables, des fonctions convexes deux fois dérivables.
• Position relative du graphe d'une fonction convexe dérivable et de ses tangentes.
• Exemples d'inégalités de convexité.

• Normes et espaces vectoriels normés.
• Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe. Structure d'espace vectoriel normé. Vecteurs unitaires.
• Distance associée à une norme. Inégalité triangulaire.
• Boules fermées, boules ouvertes, sphères. Convexité des boules.
• Parties, suites, fonctions bornées.
• Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel.
• Norme N_1, N_2, N_Infini sur K^n
• Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées à valeurs dans K.
• Norme de la convergence en moyenne et de la convergence en moyenne quadratique sur l'espace des fonctions continues sur un segment à valeurs réelles ou complexes.
• Produit fini d'espaces vectoriels normés.
• Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé.
• Suite convergente, divergente. Unicité de la limite. Caractère borné d'une suite convergente. Opérations algébriques sur les suites convergentes. Convergence d'une suite à valeurs dans un espace produit d'espaces vectoriels normés.
• Suites extraites, valeurs d'adhérence. Une suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence diverge.