PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 02
du 24/09/18 au 29/09/18

• Comparaison de normes.
• Normes équivalentes.
• Invariance du caractère borné, de la convergence d'une suite. Utilisation des suites pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes.
• Topologie d'un espace normé.
• Ouvert d'un espace normé. Stabilité par réunion quelconque, par intersection finie. Une boule ouverte est un ouvert.
• Voisinage d'un point.
• Fermé d'un espace vectoriel normé. Stabilité par intersection quelconque, par réunion finie. Une boule fermée, une sphère, sont fermées.
• Point intérieur, point adhérent. Intérieur, adhérence, frontière d'une partie.
• Caractéristion séquentielle des points adhérents, des fermés.
• Partie dense.
• Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente.
• Si A est une partie d'un espace normé, ouvert et fermé relatifs de A. Voisinage relatif. Caractérisation séquentielle des fermés de A.
• Etude locale d'une application, continuité.
• Limite en un point adhérent à A. Extension au cas de l'infini.
• Caractérisation séquentielle.
• Cas d'une application à valeurs dans un produit d'espaces vectoriels normés.
• Opérations algébriques sur les limites. Limite d'une composée.
• Continuité en un point.Fonctions continues
• Caractérisation séquentielle. Cas d'une application à valeurs dans un produit d'espaces vectoriels normés.
• Opérations algébriques sur les fonctions continues.
• Composition de deux fonctions continues.
• Image réciproque d'un ouvert d'un fermé par une application continue. Prolongement des identités.
• Applications uniformément continues, lipschitziennes. Cas de la fonction x->d(x,A).
• Pour qu'une application linéaire soit continue il faut et il suffit qu'il existe M tel que N_F(u(x)) <= M N_E(x). La notion de norme subordonnée est hors-programme.