PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 13
du 14/01/19 au 19/01/19

• Généralités
  • Matrices semblables, interprétation géométrique.
  • Sous-espace stable par un endomorphisme. Endomorphisme induit.
• Eléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
  • Droite stable par un endomorphisme.
  • Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre.
  • Le spectre d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie est l'ensemble de ses valeurs propres.
  • La somme d'une famille finie de sous-espaces propres est directe.
  • Le spectre d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie n est fini, et de cardianal au plus n.
  • Si deux endomorphismes u et v commutent, tout sous-espace propre de u est stable par v.
  • Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres et spectre d'une matrice carrée.
• Polynôme caractéristique.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice carrée, d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.
  • Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres. Multiplicité d'une valeur propre.
  • Polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire.
  • Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit.

• Réductions des endomorphismes et des matrices carrées.
  • Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables.
  • Endomorphismes et matrces carrées trigonalsables.