PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 15
du 28/01/19 au 02/02/19

• Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes.
  • Endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel E de dimension finie, matrice nilpotente.
  • Un endomorphisme est nilpotent si et seulement si il est trigonalisable avec pour seule valeur propre 0.
  • L'indice de nilpotence est majoré par la dimension de E.
• Polynômes d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
  • Pour u dans L(E), morphisme d'algèbre P->P(u) de K[X] dans L(E). Le noyau de ce morphisme est l'idéal annulateur de u. Son image est la sous-algèbre commutative K[u] de L(E).
  • Polynôme minimal d'un endomorphisme en dimension finie, d'une matrice carrée.
  • Si d est le degré du polynôme minimal de u, alors la famille (u^k)_{0<=k<=d-1} est une base de K[u].
  • Si P annule u alors toute valeur propre de u est racine de P
  • Théorème de Cayley-Hamilton (Démonstration non exigible).
• Lemme de décomposition des noyaux.
  • Lemme de décomposition des noyaux pour un produit de r polynômes premiers entre eux deux à deux.
• Polynômes annulateurs et diagonalisabilité.
  • Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme scindé à racines simples annulant u, ou encore si son polynôme minimal est scindé à racines simples. Traduction matricielle.
  • Polynôme minimal d'un endomorphisme induit. Diagonalisabilité d'un endomorphisme induit.
• Endomorphismes à polynôme minimal scindé.
  • S'il existe un polynôme scindé annulant u, décomposition de E en somme directe de sous-espaces stables par u sur chacun desquels u induit la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent.

• PROBABILITES