PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 19
du 11/03/19 au 18/03/19

• Endomorphismes symétriques d'un espace euclidien.
  • Endomorphisme symétrique d'un espace euclidien. Lien avec les matrices symétriques réelles. La notion d'adjoint d'un endomorphisme est hors programme.
  • Caractérisation des projecteurs orthogonaux comme projecteurs symétriques.
  • Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable.
  • Théorème spectral : si u est un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien, E alors est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de u; de manière équivalente, il existe une base orthonormale diagonalisant u. Interprétation matricielle de ce résultat. La notion d'endomorphisme symétrique positif(ou défini positif) est hors programme.
• Isométries vectorielles d'un espace euclidien.
  • Isométrie vectorielle d'un espace euclidien. Autre dénomination: automorphisme orthogonal/ Lien avec les matrices orthogonales.
  • Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable.
  • Réduction d'une isométrie vectorielle en base orthonormale. Interprétation dans le registre matriciel.
  • Cas particulier: réduction d'une isométrie vectorielle directe d'un espace euclidien de dimension 3. Terminologie "rotation".

• Equations différentielles linéaires.
  • Généralités.
  • Solutions d'une équation différentielles linéaire.
  • Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice.
  • Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants.
  • Méthode de la variation des constantes.
  • Equations différentielles linéaires scalaires du second ordre.