PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 20
du 18/03/19 au 23/03/19

• Généralités.
  • Equation différentielle linéaire: x'=a(t)(x)+b(t), où a est continue de I dans L(E) et b continue de I vers E. Forme matricielle, systèmes différentiels linéaires. Equation différentielle homogène associée à une équation différentielle linéaire. Principe de superposition.
  • Problème de Cauchy. Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy.
  • Représentation d'une équation scalaire linéaire d'ordre n par un système différentiel linéaire.
  • Problème de Cauchy pour une équation linéaire scalaire d'ordre n.
• Solutions d'une équation différentielles linéaire.
  • Théorème de Cauchy linéaire : existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy (Démonstration non exigible).
  • Cas des équations scalaires d'ordre n.
  • Cas des équations homogènes : l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de F(I,E). Pour tout t0 de I l'application x->x(t0) est un isomorphisme de cet espace vers sur E.
  • Dimension de l'espace des solutions. Cas des équations scalaires homogènes d'ordre n.
  • Structure de l'ensemble des solutions d'une équation avec second membre.
  • Exemples d'équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2 non résolues i.e. a(x)y'+b(x)y=c() et a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=d(x). Les étudiants doivent savoir exploiter la recherche de solutions développables en série entière.
• Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice.
  • Exponentielle d'un endomorphisme d'un espace normé de dimension finie, d'une matrice réelle ou complexe (notations : e^a, exp(a), e^A, exp(A)).
  • Continuité de l'exponentielle.
  • Exponentielle de la somme de deux endomorphismes qui commutent (Démonstration non exigible).
  • Dérivation, si a est un endomorphisme d'un espace normé de dimension finie, de l'application t->exp(ta). Dérivation de t->exp(tA) si A est une matrice.
• Systèmes différentiels linéaires homogènes à coefficients constants.
  • Résolution du problème de Cauchy x'=a(x),x(t0)=x0, si a est un endomorphisme de E et x0 un élément de E. Traduction matricielle. Pour les calculs explicites, on se borne aux deux cas suivants : A diagonalisable ou n<=3.
• Méthode de la variation des constantes.
  • Méthode de la variation des constantes pour les systèmes à coefficients continus. (Dans les exercices pratiques on se limite au cas n=2)
  • Cas particulier des systèmes différentiels à coefficients constants.

• Equations différentielles linéaires scalaires du second ordre.
• Calcul différentiel.
• Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles
• Différentielle
• Opérations sur les applications différentiables
• Cas des applications numériques.