PROGRAMME des COLLES de MATHEMATIQUES
MP*2 2018/2019
Semaine 22
du 01/04/19 au 06/04/18

• Vecteurs tangents à une partie d'un espace normé de dimension finie.
  • Définition d'un vecteur tangent en un point x d'une partie X de E par v=g'(0) où g est un arc à valeurs dans X, défini au voisinage de 0 et dérivable en 0.
  • Cas ou E=R^3 et où X est le graphe d'une fonction différentiable sur un ouvert de R^2. Plan affine tangent à la surface d'équation z=f(x,y), équation cartésienne.
  • Si f est une fonction à valeurs réelles définie et différentiable sur un ouvert de l'espace euclidien E, si X est une ligne de niveau de f alors les vecteurs tangents à X en x sont orthogonaux au gradient de f en x (Le théorème des fonctions implicites est hors programme).
• Applications de classe C1
  • Une application f est dite de classe C1 sur un ouvert U si elle est différentiable sur U et si df est continue sur U.
  • f est de classe C1 si et seulement les dérivées partielles par rapport à une base existent en tout point et sont continues.
  • Opérations algébriques sur les fonctions de classe Cun.
  • Si f est de classe C1 sur l'ouvert U et g un arc de classe C1 de [0,1] dans U, alors f(g(1))- f(g(0))=integrale(0,1,df(g(t)).g'(t) dt).
  • Si U est connexe par arcs, caractérisation des fonctions constantes sur U (Démonstration pour U convexe).
• Applications de classe Ck
  • Dérivées partielles d'ordre k
  • Une application est dite de classe Ck sur un ouvert si toutes ses dérivées d'ordre k existent et sont continues (la différentielle seconde est hors programme).
  • Théorème de Schwarz.
  • Opérations algébriques sur les applications de classe Ck.
  • Composition d'application de classe Ck
  • Exemples d'équations aux dérivées partielles du premier et du second ordre. Changement de variables par transformation affine ou passage en coordonnées polaires. La notion de difféomorphisme étant hors programme l'expression des solutions en fonction des variables initiales n'est pas attendue.